Recommended Prior Knowledge

Matemática 12º ano.

Objectives

1. Identificar as propriedades de funções reais de variável real, interpretar o conceito de limite e calcular limites de funções.


2. Analisar a continuidade de uma função e aplicar os teoremas de Bolzano e de Weierstrass.


3. Caracterizar a inversa de uma função trigonométrica.


4. Interpretar o conceito de derivada e calcular a derivada de uma função num ponto por definição.


5. Analisar a diferenciabilidade de uma função num intervalo aberto e aplicar as regras de derivação, os teoremas de Rolle, de Lagrange e de Cauchy.


6. Aplicar a fórmula de Taylor de uma função num ponto.


7. Reconhecer e determinar primitivas imediatas.


8. Calcular primitivas pelos métodos de primitivação por partes, por decomposição e por substituição.


9. Compreender o integral de Riemann, o integral indefinido e aplicar o teorema fundamental do cálculo integral.


10. Calcular integrais pela fórmula de Barrow.


11. Calcular áreas e volumes através do cálculo integral.


12. Calcular integrais impróprios de 1.ª e de 2.ª espécie.

Teaching Methods

Internship(s)

Não

Syllabus

1. Funções Reais de Variável Real




1. Generalidades sobre funções reais de variável real.


2. Noção de limite; limites laterais; propriedades e operações.


3. Funções contínuas, propriedades e prolongamento por continuidade.


4. Teoremas de Bolzano, Weierstrass e da continuidade da função inversa.


5. Estudo das funções trigonométricas inversas.




2. Cálculo Diferencial em ℝ




1. Noção de derivada de uma função: definição e interpretações em termos geométricos e físicos; retas tangente e normal ao gráfico de uma função.


2. Derivadas laterais; diferenciabilidade e suas propriedades; regras de derivação; derivada da função composta e da função inversa; derivadas das funções trigonométricas inversas.


3. Teoremas fundamentais: teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy; regra de Cauchy.


4. Derivadas de ordem superior; Polinómios de Taylor e Maclaurin; diferencial e aproximação linear; fórmulas de Taylor e de Maclaurin (resto de Lagrange). Aplicação ao estudo de extremos e concavidades.




3. Cálculo Integral em ℝ




1. Primitivas: definição e propriedades. Primitivas imediatas. Métodos de primitivação: primitivação por partes, por substituição e por decomposição.


2. Integral de Riemann e sua interpretação geométrica; propriedades.


3. Integral indefinido e suas propriedades. Teorema fundamental do cálculo integral e fórmula de Barrow.


4. Integração por partes e por substituição.


5. Aplicações do cálculo integral ao cálculo de áreas e de volumes de sólidos de revolução.


6. Integrais impróprios de 1.ª e de 2.ª espécie.

Content Explanation

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Methodology Explanation

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Responsible Lecturer(s)

Artur Miguel Capêllo Brito da Cruz - 1.º Semester

Bibliography

Apostol, T.; Cálculo, Vol. I - 2ª edição, Reverté, 1994
DMAT; Apontamentos editados pelo Departamento de Matemática (Available in Moodle)
Thomas, G. B., Finney, R. L.; Cálculo, Vols. I e II – 11ª edição, Pearson-Addison Wesley, 2009
Stewart, J.; Calculus: Early Transcendentals– Ninth Edition, Cengage Learning, Inc., 2016 (online)