Conhecimentos de Base Recomendados

Conhecimentos adquiridos na UC Matemática I das atuais licenciaturas.

Objetivos

O objetivo desta UC é proporcionar aos estudantes conhecimentos básicos da álgebra linear e competências para lidar com os mecanismos do cálculo diferencial em campos escalares e vetoriais, ferramentas matemáticas de grande importância na formação profissional de um técnico superior ou engenheiro.

Em cada tópico, os estudantes deverão adquirir as seguintes competências:

1 – Matrizes
a) Saber efetuar operações algébricas com matrizes e perceber a definição de inversa de uma matriz. Perceber e saber aplicar as propriedades das operações algébricas e da inversa.
b) Perceber a noção e saber estudar a dependência e independência linear das linhas e colunas de uma matriz. Saber calcular a característica de uma matriz, usando operações elementares.
c) Saber resolver e discutir um sistema de equações lineares pelo método de eliminação de Gauss. Saber averiguar se uma matriz é invertível e calcular a sua inversa.

2 – Determinantes
a) Perceber a definição de determinante e as suas propriedades e saber aplicar os vários métodos de cálculo de determinantes.
b) Saber calcular a adjunta de uma matriz, averiguar se uma matriz é invertível e calcular a sua inversa usando determinantes. Saber usar a Regra de Cramer.

3 – Valores e Vetores Próprios
a) Perceber as noções de valor e vetor próprio de uma matriz.
b) Saber calcular os valores e os vetores próprios de uma matriz.

4 – Cálculo Vetorial
a) Perceber as noções de produto interno de vetores, norma e versor de um vetor, saber calculá-los e aplicar as suas propriedades.
b) Saber determinar o ângulo entre dois vetores, a projeção ortogonal e averiguar se um conjunto de vetores é ortogonal ou ortonormado.
c) Perceber as noções de produto externo e produto misto de vetores, saber calculá-los e aplicar as suas propriedades.

5 – Cálculo Diferencial em IRⁿ
a) Compreender as noções de campos escalares e vetoriais e saber estudar conjuntos e superfícies de nível.
b) Saber calcular limites e estudar a continuidade de campos escalares e de campos vetoriais.
c) Compreender as noções de derivadas parciais, diferenciabilidade, derivada dirigida e vetor gradiente de campos escalares e as suas propriedades e saber calculá-las/estudá-las. Saber determinar as equações do plano tangente e da reta normal.
d) Saber estudar a diferenciabilidade, calcular a matriz Jacobiana e derivadas dirigidas de campos vetoriais. Saber calcular a divergência e o rotacional.

Métodos de Ensino

A UC Matemática II tem uma carga letiva de 5 horas semanais, distribuídas por 3 horas de aulas teórico-práticas (TP) e 2 horas de aula prática-laboratorial (PL).

Nas aulas TP serão apresentados os conceitos fundamentais dos diferentes tópicos do programa da UC, demonstrados alguns resultados e resolvidos exercícios que ilustram os assuntos abordados. Neste tipo de aulas, os estudantes deverão adquirir uma visão global dos temas e das suas interligações, acompanhada de uma formulação correta e objetiva das definições e propriedades e da prática do raciocínio dedutivo.

Nas aulas PL os estudantes realizarão, sob a orientação do docente, um conjunto de exercícios, com vista a uma compreensão mais aprofundada dos temas tratados e uma maior consolidação dos conhecimentos.

Caberá ao estudante, à posteriori, realizar um estudo autónomo sobre os temas abordados e aprofundar o seu conhecimento, recorrendo ao material de estudo recomendado na bibliografia da UC e ao apoio dos docentes da UC nos respetivos horários de atendimento.

A UC terá toda a informação e materiais específicos (nomeadamente, slides onde são expostos os conteúdos da UC e fichas de exercícios) centralizados na plataforma Moodle. Com vista à consolidação dos conhecimentos serão facultados aos estudantes 3 testes formativos de escolha múltipla, nesta plataforma.

Estágio(s)

Não

Programa

1 – Matrizes
a) Definição de matriz; operações algébricas com matrizes; matriz inversa.
b) Dependência e independência linear das linhas e colunas de uma matriz; característica de uma matriz e operações elementares.
c) Sistemas de equações lineares; inversão de matrizes.

2 – Determinantes
a) Definição de determinante, suas propriedades e métodos de cálculo.
b) Aplicações dos determinantes: cálculo da matriz inversa utilizando a matriz adjunta; regra de Cramer.

3 – Valores e Vetores Próprios
a) Definição e interpretação geométrica de valor e vetor próprio de uma matriz.
b) Método de cálculo dos valores e vetores próprios de uma matriz.

4 – Cálculo Vetorial
a) Produto interno de vetores; norma e versor de um vetor e suas propriedades.
b) Ângulo e projeção ortogonal entre dois vetores; vetores ortogonais e ortonormados.
c) Produto externo e produto misto de vetores: definição, propriedades e aplicações.

5 – Cálculo Diferencial em IRⁿ
a) Campos escalares e vectoriais; conjuntos e superfícies de nível.
b) Limites e continuidade de campos escalares e de campos vetoriais.
c) Derivadas parciais, diferenciabilidade, derivada dirigida e vetor gradiente de campos escalares; equações do plano tangente e da reta normal.
d) Diferenciabilidade, matriz Jacobiana e derivada dirigida de campos vetoriais; operadores divergência e rotacional.

Demonstração de conteúdos

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Demonstração da metodologia

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Docente(s) responsável(eis)

Patrícia Santos Ribeiro - 2.º Semestre

Bibliografia

Giraldes, E., Fernandes, V. H. e Smith, M. P. M.; Curso de Álgebra Linear e Geometria Analítica, McGraw-Hill, 1995. ISBN: 972-8298-02-1
Apontamentos e exercícios; elaborados por docentes do Departamento de Matemática (Disponíveis na página da UC no Moodle)
Luz, C., Matos, A. e Nunes, S.; Álgebra Linear (Volume I), ESTSetúbal/IPS, 2002. ISBN: ISBN 972-8431-16-9
Azenha, A. e Jerónimo, M. A.; Cálculo Diferencial e Integral em R e Rn, McGraw-Hill, Portugal, 1995, ISBN 972-8298-03-X., McGraw-Hill, Portugal, 1995. ISBN: 972-8298-03-X
Magalhães, L. T.; Álgebra Linear como introdução à Matemática Aplicada, Texto Editora, 1989. ISBN: 972-47-0007-0
Strang, G.; Linear algebra and its applications, Fort Worth: Saunders, 1988. ISBN: 0-15-551005-3 (Aconselhada a estudantes que não percebam português)
Apostol, T.; Calculus, Vol. II, Blaisdell Publishing Company, Massachusetts, 1969. ISBN: 0-471-00008-6 (Aconselhada a estudantes que não percebam português)
Laudesman, E. M. e Hestenes, M. R.; Linear Algebra for Mathematics, Science and Engineering, Prentice─Hall International, New Jersey, 1992. ISBN: 978-3-030-21323-7 (Aconselhada a estudantes que não percebam português; não está disponível na Biblioteca)